a. Tìm x biết:

b. Tìm các số nguyên x sao cho:


c. Tìm số tự nhiên a và b biết:

a. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia nó cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho 7 ta được các số dư theo thứ tự là: 1; 2; 3; 4; 5.
b. Tìm số nguyên a để 2a + 1 chia hết cho a - 5;

a)Tìm các số tự nhiên x, y biết:


b) Tìm các số nguyên x, y sao cho

a) Cho phân số

Tìm n để A có giá trị nguyên
b) So sánh

1. Tìm số tự nhiên n để n+18 và n-41 là hai số chính phương.
2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

Câu 1. (3 điểm) Cho hàm số

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên k và mọi số thực x ta luôn có .

b) Tìm tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2. (4 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:

Bài 1: Viết số hạng tổng quát của một dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3
b) Chia cho 5 dư 2.
Bài 2: Cho dãy số

a) Chứng minh rằng

với mọi n ≥ 1
b) Hãy cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.

Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:

Bài 2: Viết số hạng tổng quát của một dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3
b) Chia cho 5 dư 2.

Bài 1
Cho 4 số nguyên dương a,b, c, d thoả mãn

. Chứng minh rằng a+b+c+d là hợp số.
Bài 2
a, Viết số 1998 thành tổng của 3 số tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng tổng các lập phương của 3 số tự nhiên đó chia hết cho 6
b, Viết số thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của 3 số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu ?
Bài 3
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng
trong đó b và c là các số nguyên.

Cho

Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a – 1 là một nghiệm.



Bài 2 (2,5đ)
a) giải hệ phương trình


b) Tìm m để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 3 (2.0đ)
a) CMR nếu số nguyên K lớn hơn 1 thỏa mãn

là số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
b) CMR nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì

Câu 1. Cho a là nguyên dương chẵn không chia hết cho 10. Tìm chữ số hàng chục của .

Câu 2. Giải phương trình sau:

Chứng minh rằng:
a.
chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Cho hệ phương trình

(m là tham số)
a) Giải và biện luận theo m.
b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x ; y) với x ; y là các số nguyên dương.

Bài 1. Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AD = 2a, đáy nhỏ BC = a, các cạnh bên AB = CD = a. Trên nửa đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S (không trùng với A). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SD cắt các cạnh SB, SC, SD tại B1, C1, D1.
a. Chứng minh rằng: AB1C1D1 là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Khi điểm S chạy trên nửa đường thẳng At, chứng minh đường thẳng C1D1 đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 2 ta luôn có:

trong đó là số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.

Cho biểu thức:


1, Tìm điều kiện xác định của P. Rút gọn P
2, Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 1 ta luôn có:
b) Tìm n biết:

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn đẳng thức

1. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn:

2. Cho đa thức

Biết rằng P(m) = P(n) (m n). Chứng minh: